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· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ∑ · · · … ,
Stage: The sum can’t be a decimal but should be the sum of all the products, so perhaps I have to model it differently.
Wait, but in the code, the sum is sum sum, and the product is prod. So, to model the problem correctly.
Wait, in the question, we have a hex: + + + …, i.e., the sum is for the series 1 + 3a + 5a^2 + 7a^3 + … , so the general term seems to be (2n-1)*a^{n-1} }, where n starts at 1 and goes to infinity.
So, we have the sum from n=1 to ∞ of (2n -1) * a^{n-1}
Let me think, what is this sum equal to? Let’s denote it S.
Then, S = sum{n=1}^∞ (2n-1) a^{n-1} = ∑{n=1}^infty (2n-1) a^{n-1}
This looks like a series that can be expressed as 2 sum{n=1}^infty n a^{n-1} – sum{n=1}^infty a^{n-1}
We can split the series.
We know that sum_{n=1}^infty a^{n} = a/(1 – a) for |a| < 1.
Similarly, sum_{n=1}^infty n a^{n-1} = 1/(1 – a)^2.
Alternatively, this is a standard result: sum_{n=0}^infty (n+1) a^n = 1/(1 – a)^2.
Wait, let’s see:
Let me think of sum_{n=1}^infty n * a^{n-1}.
This is similar to the derivative of sum (a^n). Let’s recall:
sum_{n=0}^infty a^n = 1/(1 – a) for |a| < 1.
Differentiating both sides: sum_{n=0}^infty a^{n} * n = 1/(1 – a)^2, for |a| < 1.
So, sum_{n=0}^infty n a^{n} = 1/(1 – a)^2.
But our sum for S is sum_{n=1}^infty (2n – 1) a^{n-1}.
Let me rewrite S:
S = sum{n=1}^infty (2n – 1) a^{n-1} = 2 sum{n=1}^infty n a^{n-1} – sum_{n=1}^ann a^{n-1}.
Breaking it down:
Left sum: 2 sum_{n=1}^infty n a^{n-1} = 2 1/(1 – a)^2.
Right sum: sum{n=1}^infty a^{n-1} = sum{m=0}^infty a^m = 1/(1 – a).
Therefore, S = 2/(1 – a)^2 – 1/(1 – a) = (2 – (1 – a))/ (1 – a)^2 = (2 – 1 + a) / (1 – a)^2 = (1 + a)/(1 – a)^2.
Ah, so S = (1 + a)/(1 – a)^2.
So, if the sum of the products is S = (1 + a)/(1 – a)^2, then the answer is S.
But in the code, the product is not a computed but must be presented symbolically.
So, perhaps the sum is equal to (1 + a)/(1 – a)^2.
But wait, let’s think differently. Because in the original setup, the series for the sum is 1* a^0 + 3 a + 5 a^2 + 7 a^3 + … which is equivalent to sum_{n=1}^infty (2n -1 ) a^{n -1}. As we’ve already computed, this sum is (1 + a)/(1 – a)^2.
Alternatively, perhaps the problem means 1a + 3a^2 + 5a^3 + 7a^4, etc., which would correspond to sum_{n=1}^n (2n -1)*a^n.
Wait, let me clarify.
In the problem statement, it’s said: "a + 3ab + 5ab^2 + 7ab^3 + 11ab^4 + …"
Wait, but the terms are "a", "3ab", "5ab^2", etc., which seem to have coefficients increasing by 2 each time.
Wait, ab^0 = a, which can be considered as 1*a.
Then 3ab (21a + 1b), 5ab^2 (22a + 0b), 7ab^3 (23a + 1*b), etc.
Wait, no, ab is a product of a and b, but originally the problem may have been a geometric setting.
Wait, perhaps the examples don’t have b, because sometimes the variables are merged.
Alternatively, perhaps the product is supposed to be a series in a different way, like adding 3 products.
But that’s ambiguous. Alternatively, perhaps in the product the exponents may be different.
Alternatively, maybe it’s a generalized problem, but let’s go back.
We found that the sum S is
S = (1 + a)/(1 – a)^2.
Thus, perhaps the answer is (1 + a)/(1 – a)^2.
Alternatively, maybe I should express it as (1 + a)/(1 – a)^2, which is the sum.
So, I think that’s the value of the sum if it’s an infinite product as per the series we’ve analyzed.
Additionally, as per the problem, the program is supposed to compute this sum and previous products, and the answer should be in a box.
Alternatively, depending on how the products are constructed.
Alternatively, perhaps the problem is set in a geometric setting, and given the code, I need to compute the sum while showing the product and final result.
But in the code, the question mentions a product is being calculated.
But probably, the problem can be transformed into the series.
So, conclusion, the sum is (1 + a)/(1 – a)^2, thus the final answer is boxed{frac{1 + a}{(1 – a)^2}}.
But I need to make sure about the initial problem.
But initially, when dealing with the sum of (2n−1)a^{n−1}.
An alternative approach: think about the generating function for the series, which is sum_{n=1}^infty (2n −1) a^{n−1}.
We can use the formula for such series.
Let me think, since S = sum_{n=1}^infty (2n -1) a^{n -1}.
Let me factor out the 2 and substract:
S = 2 sum{n=1}^infty n a^{n−1} – sum{n=1}^infty a^{n−1}.
As I did before.
sum_{n=1}^infty a^{n−1} = 1/(1 – a).
sum_{n=1}^infty n a^{n−1} is the derivative of sum a^{n} = a + a^2 + a^3 + … = a/(1 – a).
Derivative is a + 2a^2 + 3a^3 + … = 1/(1 − a)^2.
Therefore, sum_{n=1}^infty n a^{n−1} = 1/(1 -a)^2.
Thus, S = 2/(1 -a)^2 – 1/(1 − a) = (2 – (1 – a))/ (1 – a)^2 = (1 + a)/(1 – a)^2.
So, finally, the sum is (1 + a)/(1 – a)^2.
Therefore, the answer should be: (1 + a) divided by (1 – a)^2, or as a formula, (1 + a)/(1 – a)^2.
Thus, the final answer is boxed form:
The sum is (1 + a)/(1 − a)^2, so the answer is boxed{dfrac{1 + a}{(1 – a)^2}}.
Final Answer
The sum is boxed{dfrac{1 + a}{(1 – a)^2}}.
The problem involves finding the sum of an infinite series where each term is of the form (2n – 1) * a^{n-1} for n starting at 1. This series can be expressed as:
[ S = sum_{n=1}^infty (2n – 1) a^{n-1} ]
To solve this, we can split the sum into two parts:
- The sum of n * a^{n-1} which is known to be:
[ sum_{n=1}^infty n a^{n-1} = frac{1}{(1 – a)} ]
- The sum of a^{n-1} which is geometric series:
[ sum_{n=1}^infty a^{n-1} = frac{1}{1 – a} ]
Putting it all together:
[ S = 2 sum{n=1}^infty n a^{n-1} – sum{n=1}^infty a^{n} ]
Calculating each part:
-
The right part is straightforward:
[ sum_{n=1}^infty a^{n} = frac{a}{1 – a} ]
-
The left part involves the derivative of the geometric series:
[ sum_{n=1}^infty n a^{n-1} = frac{1}{(1 – a)^2} ]
Thus, combining them:
[ S = 2 cdot frac{1}{(1 – a)^2} – frac{a}{1 – a} ]
Simplifying further:
[ S = frac{2}{(1 – a)^2} – frac{a}{1 – a} ]
Combining the terms:
[ S = frac{2 – a(1 – a)}{(1 – a)^2} = frac{2 – a + a^2}{(1 – a)^2} = frac{1 + a}{(1 – a)^2} ]
Therefore, the final answer is:
[
boxed{dfrac{1 + a}{(1 – a)^2}}
]
